二維走時層析成像 (Travel Time Tomography) — 4×3 網格計算範例
包含：4×3 網格設定、真實速度模型、射線路徑、走時計算、G 矩陣建立、欠定問題說明與結果品質分析。
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=
第 1 步：定義「真實」的地下速度模型
現實中模型未知；此處為教學，先設定真實速度以產生「觀測」走時。每格大小 1 km × 1 km。
真實速度 vj（km/s）
v1: 4.0
v2: 4.0
v3: 4.0
v4: 4.0
v5: 4.0
v6: 2.0
v7: 4.0
v8: 4.0
v9: 4.0
v10: 4.0
v11: 5.0
v12: 4.0
對應慢度 sj = 1 / vj（s/km）
s1: 0.250
s2: 0.250
s3: 0.250
s4: 0.250
s5: 0.250
s6: 0.500
s7: 0.250
s8: 0.250
s9: 0.250
s10: 0.250
s11: 0.200
s12: 0.250
第 2 步：定義射線路徑並計算「觀測」走時
有三條射線來自不同事件，於不同測站被記錄。下方為ASCII 示意與SVG 網格（可視化）。
射線路徑（ASCII 示意）
R2 R3
v v
+--S3---+-----+-----+-----+
| \ 1 | 2 | 3 | 4 |
+------+--|--+-----+-----+
S1->| 5 | \6 /| 7 | 8 | -> R1
+-----+--|--+-----+-----+
| 9 | 10|/ 11 | 12 |
+-----+---S2--+-----+
射線 1（水平）：5 → 6 → 7 → 8
射線 2（垂直）：10 → 6 → 2
射線 3（對角）：1 → 6 → 11
走時計算
- 射線 1（水平）：每格路徑 1 km。T₁ = (1/4.0) + (1/2.0) + (1/4.0) + (1/4.0) = 1.25 s
- 射線 2（垂直）：每格路徑 1 km。T₂ = (1/4.0) + (1/2.0) + (1/4.0) = 1.00 s
- 射線 3（對角）：每格路徑 √2 km。T₃ = √2 × (1/4.0 + 1/2.0 + 1/5.0) = 1.414 × 0.95 = 1.343 s
觀測資料向量 d = [T₁, T₂, T₃]ᵀ = [1.25, 1.00, 1.343]ᵀ
第 3 步：建立 G 矩陣與線性方程組
未知量為慢度向量 m = [s₁, s₂, …, s₁₂]ᵀ，以 d = Gm 表示。每條射線 i 的走時 Tᵢ = Σ (lᵢⱼ · sⱼ)。
T₁ = 1·s₅ + 1·s₆ + 1·s₇ + 1·s₈ = 1.25
T₂ = 1·s₂ + 1·s₆ + 1·s₁₀ = 1.00
T₃ = √2·s₁ + √2·s₆ + √2·s₁₁ = 1.343
| 1.25 |
| 1.00 |
| 1.343 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| √2 | 0 | 0 | 0 | 0 | √2 | 0 | 0 | 0 | 0 | √2 | 0 |
| s₁ |
| s₂ |
| … |
| s₁₂ |
為何 G 的係數是 0、1 或 √2？
因每條射線在某格的行進長度 lᵢⱼ 為：若通過該格且平行於格邊 ⇒ 1 km；斜對角穿過 ⇒ √2 km；未經過 ⇒ 0。單位相容下，走時 Tᵢ 為各格慢度 sⱼ 乘上相應路徑長度 lᵢⱼ 的加總。
第 4 步：求解與解釋
此例共有 12 個未知數（s₁…s₁₂），但只有 3 條方程 ⇒ 欠定問題（無窮多解）。
現實中的處理方式
- 增加資料：蒐集大量、不同方位與路徑長度的射線，使方程數 ≫ 未知數，形成 超定問題。
- 反演策略：以最小平方法或具正則化的解法（如 damping / smoothing）取得穩健解，並評估殘差與解析度。
結果品質與解析度
- 高解析度：如
s6被多條、不同方向射線穿越，約束較好，估計較接近真值。 - 低解析度：如
s3, s4, s9, s12無射線穿越，資訊不足，估值不可靠。
實作上，解得所有慢度後再轉回速度 v = 1 / s，以色塊或等值圖呈現地下速度結構。
小工具：即時計算 d = Gm（教學用）
以下表單可即時計算本例的三條走時（單位秒）。你可微調 v6 與 v11 觀察影響。
T₁=1.25 s, T₂=1.00 s, T₃≈1.343 s（預設值）
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