地球物理重力探勘 1015課程 -1

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地球物理課程：重力探勘入門

地球物理課程：重力探勘入門

解鎖地球內部的秘密

同學們，大家好！歡迎來到地球物理的世界。今天，我們要談論一個你我每天都在體驗、卻又充滿秘密的力量——重力。

你可能會想，重力不就是蘋果掉到牛頓頭上那麼簡單嗎？但對地球物理學家來說，重力是一個強大的「位能場 (Potential Field)」。就像X光能讓我們看透人體一樣，測量重力場的微小變化，能幫助我們「看透」地底，找出地殼中隱藏的秘密。這，就是重力探勘 (Gravity Prospecting) 的核心！

我們的地球引力場其實相對單純，所有的重力線都指向地球中心（如 Fig 8.1 所示），這讓我們的分析工作簡化不少。那麼，這一切是從何開始的呢？

第一部分：一切的起點 —— 牛頓的萬有引力

故事要從牛頓說起。他提出，宇宙中任何兩個有質量的物體都會互相吸引。這個「吸引力」 ($F$) 有多大呢？這就帶出了我們第一個關鍵公式：

牛頓萬有引力定律 (Newton's Law of Gravitation)

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

讓我們來拆解這個公式 (如 Fig 8.2a 所示)：

$F$ (力, Force)
兩個物體之間的吸引力，單位是牛頓 (N)。

$G$ (萬有引力常數, Universal Gravitational Constant)
這是一個宇宙常數，它在任何地方都一樣。其值約為 $6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$。
$m_1, m_2$ (質量, mass)
兩個物體的質量，單位是公斤 (kg)。
$r$ (距離, distance)
兩個物體「質心」之間的距離，單位是公尺 (m)。注意！是質心之間的距離，不是表面。

這個公式告訴我們一個重點：引力 $F$ 和物體的質量成正比（物體越重，引力越大），和距離的平方成反比（距離越遠，引力急劇下降）。這就是所謂的「平方反比定律 (inverse square law)」。

第二部分：從「力 (F)」到「加速度 (g)」—— 我們真正測量的東西

在探勘時，我們很少直接測量兩個物體間的「力」 $F$。相反地，我們測量的是「重力加速度 (gravitational acceleration)」，也就是我們常說的 $g$。

$g$ 是如何從 $F$ 來的呢？這需要牛頓的第二個好點子：牛頓第二運動定律 (Fig 8.2b)：

$$ F = m_1 a $$

這裡的 $a$ 是物體 $m_1$ 因為受到 $F$ 的作用而產生的加速度。

現在，我們把兩個公式合體！

  1. 萬有引力說：$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
  2. 第二運動定律說：$F = m_1 a$

所以：

$$ m_1 a = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

請注意看！兩邊的 $m_1$ (被吸引的那個小東西，比如你、我、或是一根羽毛) 被消掉了！

重力加速度 (Gravitational Acceleration)

$$ a = G \frac{m_2}{r^2} $$

這個結果超級重要！它告訴我們：

關鍵特性 (1)：重力加速度 $g$ 與「被吸引的物體質量」無關！

這就是伽利略的傳奇實驗（雖然他可能沒真的在比薩斜塔丟球）。在沒有空氣阻力的情況下，一根羽毛和一個保險箱會以完全相同的加速度 $g$ 掉向地面 (如 Fig 8.3b 所示)。

我們在地球表面測量的 $g$ (也就是 $a$)，只跟地球的質量 $M$ (公式中的 $m_2$) 和我們到地心的距離 $R$ (公式中的 $r$) 有關。

所以，我們把公式寫成地球物理學家最熟悉的樣子 (Fig 8.3a)：

地球的重力加速度 (g)

$$ g = G \frac{M}{R^2} $$

其中：$M$ = 地球質量, $R$ = 到地心的距離

第三部分：$g$ 不是定值！—— 探勘的契機

你可能在國中物理學過 $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$。但事實是，$g$ 在地球表面並非處處相等！這個「不相等」就是我們的飯碗！

回頭看公式 $g = \frac{GM}{R^2}$，$G$ 是常數，所以 $g$ 的變化主要來自兩個因素：$M$ (質量) 和 $R$ (距離)。

A. 全球尺度：為何赤道比較「輕」？

課本告訴我們，地球表面 $g$ 值的變化範圍：

  • 赤道 (Equator)：約 $9.78 \text{ m/s}^2$
  • 兩極 (Poles)：約 $9.83 \text{ m/s}^2$

為什麼在赤道 $g$ 比較小呢？有兩個主要原因：

  1. 地球自轉的離心力：地球在旋轉，這會產生一股「向外」的加速度（離心力）。這股力量在赤道最強，方向與重力相反，因此抵銷了部分重力，使 $g$ 變小。在兩極，旋轉軸上沒有離心力。
  2. 地球的形狀（赤道隆起）：地球不是完美的圓形，因為自轉，它有點像一顆被壓扁的橘子，赤道比較「胖」。這表示，站在赤道上的人，他到地心的距離 $R$ 比較大。根據平方反比定律 (Fig 8.3c)，$R$ 越大，$g$ 就越小。

(課本提到第三個因素：赤道隆起的「額外質量」會增加重力。但前兩個因素的影響遠大於第三個，所以淨效應 (Net effect) 仍然是赤道的 $g$ 比較小。)

B. 探勘尺度：地底下的「質量」變化

全球尺度的變化（赤道 vs 兩極）是已知的，我們可以在測量時把它們扣掉。真正讓我們興奮的，是局部 (Local) 的 $g$ 變化！

想像一下，你拿著一個超精密的儀器 (稱為「重力儀」或「gravimeter」) 在平地上行走。

💡 應用情境：重力探勘

情境 1：發現高密度礦體（如鐵礦）

當你走到一塊隱藏的鐵礦床正上方時，你腳下的「局部質量」 $M$ 增加了（因為鐵礦比周圍的岩石密度高）。根據 $g = \frac{GM}{R^2}$， $M$ 變大，$g$ 就會微幅上升！我們稱之為「重力高區 (Gravity High)」。

情境 2：尋找空洞或鹽丘（石油陷阱）

當你走到一個地底洞穴（如鐘乳石洞）或是一個低密度的鹽丘（常與石油伴生）上方時，你腳下的「局部質量」 $M$ 減少了。這會導致 $g$ 微幅下降！我們稱之為「重力低區 (Gravity Low)」。

這就是重力探勘的精隨：利用地表觀測到的微小重力異常，反推地底下的密度（質量）分佈！

第四部分：如何測量這些「微小」的變化？

我們剛剛說，赤道和兩極的 $g$ 值相差約 $0.05 \text{ m/s}^2$。

而我們在探勘時要找的 $g$ 變化，比這個數字小得多！

為了方便，地球物理學家發明了新的單位：

Gal (伽)
$1 \text{ Gal} = 1 \text{ cm/s}^2 = 0.01 \text{ m/s}^2$
milliGal (毫伽, mGal)
$1 \text{ mGal} = 10^{-3} \text{ Gal} = 10^{-5} \text{ m/s}^2$

讓我們換算一下：

  • 地球的平均 $g$ 約為 $9.8 \text{ m/s}^2$ = $980,000 \text{ mGal}$。
  • 赤道到兩極的總變化量約 $0.05 \text{ m/s}^2$ = 5000 mGal。
  • 一個有價值的礦床或油氣田，可能只會造成 $0.1 \text{ mGal}$ 到 $10 \text{ mGal}$ 的重力異常。

這就像要在一座 1000 公尺高的大樓（如台北101的兩倍高）頂端，測量出一張紙的厚度！這需要極其精密的「重力儀 (Gravimeter)」才能辦到。

本章總結：關鍵 takeaway

  1. 萬有引力：$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$。引力大小與質量成正比，與距離平方成反比。
  2. 重力加速度：$g = \frac{GM}{R^2}$。這是我們實際測量的物理量，它只跟吸引體（地球）的質量 $M$ 和距離 $R$ 有關，與被吸物體（羽毛或保險箱）的質量無關。
  3. $g$ 不是定值：$g$ 會隨緯度（自轉、地球形狀）和高度（$R$ 變大）而改變。
  4. 重力探勘的核心：扣除已知的全球變化後，地表上微小的 $g$ 異常（單位：mGal）反映了地底下密度（質量）的分佈。
  5. 重力高區 (High) $\rightarrow$ 高密度物質（如金屬礦床）。
  6. 重力低區 (Low) $\rightarrow$ 低密度物質（如洞穴、鹽丘、沉積盆地）。

希望這堂課能讓大家對重力有全新的認識。下次當你感覺到「重力」時，請記得，它不只是把你吸在椅子上，它還承載著來自地球深處的秘密訊息！

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