重力探勘講義-1015-2-理論重力與自由空間重力

地心引力不只讓你站穩！
— 重力探勘入門

🎯 我們的目標：尋找「重力異常」

我們為什麼要大費周章地去測量重力？如課本所說，重力觀測可以用來「解釋地球不同區域下方的質量變化」。

想像一下：

• 如果你的正下方埋藏著一個密度非常大的金屬礦床（例如鐵礦），它的質量比周圍的岩石大，就會產生額外的引力，讓你儀器上的重力讀數「偏高」。
• 相反，如果你的下方是一個空洞的洞穴，或是密度很低的鹽丘（常與石油伴生），它的質量比周圍岩石小，重力讀數就會「偏低」。

這種與「正常」重力值的差異，我們就稱之為重力異常 (Gravity Anomaly)。這就是我們要找的「寶藏」！

核心概念：
重力異常 $\Delta g$ = 觀測到的重力 - 預期的「正常」重力。
這個 $\Delta g$ 反映了地表下方的質量分佈 ($M$)。

👨‍🏫 老師劃重點：我們用什麼單位？

一個小知識：我們測量重力異常的單位不是 $\text{m/s}^2$，那太大了。我們用 Gal（伽，以伽利略命名），其中 $1 \text{ Gal} = 1 \text{ cm/s}^2$。

所以 $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2 = 980 \text{ cm/s}^2 = 980 \text{ Gal}$。

在探勘時，我們關心的是更微小的變化，所以常用**毫伽 (mGal)**。

$1 \text{ mGal} = 0.001 \text{ Gal}$。

課本中出現的數字，如 $978,031.85 \text{ mGal}$，其實就是 $978.03185 \text{ Gal}$（約 $9.78 \text{ m/s}^2$），這下是不是看懂了！

🤔 問題來了：什麼是「正常」的重力？

在我們能找出那個微小的「異常」之前，我們必須先排除掉所有會影響重力讀數的「已知干擾」。在一個觀測站（Observation Point）測得的重力 $g$ ，主要受到三個因素影響：

1. 緯度 ($\phi$)：你站在地球的什麼位置（赤道 vs 兩極）。
2. 高程 ($\Delta R$ 或 $h$)：你站在多高的地方（海平面 vs 高山）。
3. 質量分佈 ($M$)：你腳下到底有什麼（岩石、礦床、洞穴...）。

我們的目標是找出 (3)，所以我們必須想辦法精確地「扣除」掉 (1) 和 (2) 造成的影響。這個「扣除」的過程，我們稱為**重力校正 (Gravity Correction)**。

🌍 步驟一：修正「地球不是圓的」— 緯度校正

第一個干擾是「緯度」。地球並非完美的球體，而是一個**扁球體 (oblate spheroid)**，赤道比較「胖」，兩極比較「扁」。

這會造成兩個效應：

1. 距離效應：站在赤道上，你離地心比較遠；站在兩極，你離地心比較近。根據萬有引力（距離平方成反比），在兩極的重力會比較強。
2. 離心力效應：地球在自轉。站在赤道上，你跟著地球轉的「線速度」最快，離心力最大，這個離心力會「抵銷」掉一部份的重力。而在兩極，你幾乎只是在「原地自轉」，離心力為零。

綜合這兩個效應，重力在赤道最弱，並隨緯度增加而增強，到兩極最強。

課本 (圖8.4) 清楚地展示了這一點，並告訴我們：

• 赤道 ($\phi = 0^\circ$) 重力 $\approx 978,031.85 \text{ mGal}$
• 兩極 ($\phi = 90^\circ$) 重力 $\approx 983,217.72 \text{ mGal}$

差了足足 $5,000 \text{ mGal}$！這個影響太大了，必須移除。

解法：理論重力 $g_t$

科學家們建立了一個數學模型，來預測在「理想中」（一個均勻、光滑的扁球體）地球上，任一緯度 $\phi$ 該有的重力值。這就叫做理論重力 (Theoretical Gravity, $g_t$)。

我們使用 1967 年的國際參考重力公式 (如圖 8.4 所示)：

$$g_t = g_e (1 + 0.005278895\sin^2\phi + 0.000023462\sin^4\phi)$$

其中 $g_e$ 是赤道的理論重力 ($978,031.85 \text{ mGal}$)，$\phi$ 是觀測站的緯度。

校正方法：在我們的觀測值 $g$ 中，減去這個 $g_t$。

$(g - g_t)$ $\leftarrow$ 這就是排除了緯度影響後，剩下的重力值。

⛰️ 步驟二：修正「你站在山上」— 自由空間校正 (FAC)

第二個干擾是「高程」。(如圖 8.6b 所示)，你站在高山上 ($R_2$)，離地心比站在海平面 ($R_1$) 更遠。重力會隨著距離（$R$）的平方減弱 ($g = GM/R^2$)。

因此，海拔越高的測站，觀測到的重力 $g$ 會越低。

我們要怎麼校正這個「高度」的影響呢？我們必須把所有測站都「拉」回到同一個基準面（通常是海平面）上來比較。

解法：自由空間校正 (Free Air Correction, FAC)

課本 (圖8.6) 幫我們推導了這個值：重力隨高度變化的梯度 $dg/dR \approx -0.308 \text{ mGal/m}$。

這串數字是什麼意思？它代表：海拔每上升 1 公尺，重力就會「減少」約 $0.308 \text{ mGal}$。

（課本 圖8.6 也提到：每上升 3 公尺，大約減少 $1 \text{ mGal}$，這是一樣的道理。）

⚠️ 老師特別提醒：這裡最容易搞混！

因為我們在山上 ($h > 0$)，測到的重力 $g$ 已經「變低」了。

我們的「校正」目的，是把這個 $g$ 值還原到它「如果在海平面上」時應有的數值。

因為在海平面重力會「更強」，所以我們必須把「失去的」重力加回來！

這就是為什麼自由空間校正 (FAC) 是用加的！

我們定義的校正公式如下：

$$FAC = h \times (0.308 \text{ mGal/m})$$

其中 $h$ 是測站高於海平面的公尺數。

校正方法：在我們的觀測值 $g$ 中，加上這個 $FAC$。

🎉 最終成果：自由空間重力異常 (Free Air Anomaly)

恭喜！我們已經排除了兩個最大的干擾。現在我們把所有步驟組合起來：

$$\Delta g_{fa} = g - g_t + FAC$$

其中：

• $\Delta g_{fa}$：自由空間重力異常 (Free Air Gravity Anomaly)。
• $g$：我們在測站實際觀測到的重力值。
• $g_t$：理論重力值（用緯度 $\phi$ 算出來，減去它來校正緯度）。
• $FAC$：自由空間校正值（用高度 $h$ 算出來，加上它來校正高度）。

如課本所總結的，這個 $\Delta g_{fa}$，就是移除了緯度和高程效應後，真正反映地底下「側向質量變化 ($M$)」的數值！

解讀藏寶圖：

• 如果 $\Delta g_{fa}$ 是一個正值（正異常）：代表你腳下的質量比「正常」情況要多。恭喜，你可能發現了高密度的金屬礦床，或是一個隱藏的山脊！
• 如果 $\Delta g_{fa}$ 是一個負值（負異常）：代表你腳下的質量比「正常」情況要少。你可能站在一個地下洞穴、一個鹽丘（石油的指標！），或是一個充滿低密度沉積物的盆地上方。

👨‍🏫 老師補充：自由空間異常的「下一步」？

你可能已經發現一個（很聰明的）問題了...

「老師，自由空間校正 (FAC) 只是把測站『想像成』漂浮在空中 $h$ 公尺，然後再把它『壓』回海平面。但...測站和海平面之間，不是『空氣』啊，是滿滿的岩石耶！這坨岩石的質量，難道不會產生額外的引力嗎？」

... 你說的完全沒錯！

$\Delta g_{fa}$（自由空間異常）並沒有考慮到測站與海平面之間那塊「多出來的岩石」（我們稱為 Bouguer 板）的引力。在探勘上，我們通常會再做「下一步」校正：

1. 布格校正 (Bouguer Correction, BC)：這一步就是去估算並減去那塊岩石（$h$ 公尺厚）的引力。
2. 地形校正 (Terrain Correction, TC)：如果測站旁邊有高山或山谷，它們也會影響重力（山會往上拉，谷會減少拉力），這個也要校正。

當我們把這些全部校正完（$\Delta g_B = g - g_t + FAC - BC + TC$），得到的就叫做布格異常 (Bouguer Anomaly)。這才是地質學家最常用來解讀「地殼內部」密度變化的藏寶圖！

不過，別擔心，布格異常是我們下堂課的內容。今天，你已經學會了重力校正的第一步，也是最基礎的——自由空間異常！

✨ 實際應用案例

• 石油與天然氣探勘：尋找低密度的「鹽丘」(Salt Domes)，它們常會推擠周圍岩層，形成儲存油氣的「構造陷阱」。鹽丘會顯示為顯著的「負異常」。
• 礦產探勘：尋找高密度的金屬礦床（如鐵、銅、鎳），它們會顯示為「正異常」。
• 土木工程與環境：探測地下的空洞、廢棄礦坑或溶洞（石灰岩地形），避免在上面蓋房子或水壩。這些空洞會顯示為「負異常」。
• 大地測量學：測量冰川的消融！格陵蘭島的冰層正在融化，質量減少，導致該地區的重力值逐年下降。科學家就是用重力衛星（如 GRACE）來監測這一切的。

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課程結束！請記得複習 $g_t$ 和 $FAC$ 的公式與「為什麼要加/減」！