折射震測走時曲線學習指南（雙層水平構造，V₂ > V₁）
本頁採高可讀排版：大字、寬行高、清晰對比與適當留白。你將能快速掌握直達波、臨界折射波、交越距離 $X_c$、截距時間 $T_i$，並用兩種方法估算第一層厚度 $h_1$。
第一部分：核心概念解釋
1) 直達波（Direct Wave）
沿地表第一層（速度 $V_1$）幾乎直線傳遞，距離越遠、時間越長。在走時–距離圖（縱軸 $t$、橫軸 $x$）上滿足 $$t=\frac{x}{V_1},$$ 因此是一條經過原點、斜率固定（$=1/V_1$）的直線。
2) 臨界折射波（Critically Refracted Wave）
當波由慢層 $V_1$ 入射至快層 $V_2$（且 $V_2>V_1$）時，存在臨界角 $i_c$ 使折射角 $=90^\circ$，波能沿介面以較快速度「貼著」傳播，再以頭波形式回到地表： $$\sin i_c=\frac{V_1}{V_2},\qquad \cos i_c=\sqrt{1-(V_1/V_2)^2}.$$
3) 交越距離（Crossover Distance, $X_c$）
小距離時直達波較快；遠距離時，經快層（$V_2$）長距離段的臨界折射波更快。兩者到時相等的距離即 $X_c$。在此距離之後，折射波先到。
第二部分：走時曲線圖的判讀（典型雙層，$V_2>V_1$）
圖形特徵：
- 直達波線段：穿過原點，較陡直線，斜率 $=1/V_1$。
- 折射波線段：自正時間截距 $T_i$ 起，較平直線，斜率 $=1/V_2$。
- 交越距離 $X_c$：兩條線段交會的橫座標。
- 截距時間 $T_i$：折射波線段延長至 $x=0$ 與時間軸相交的值，代表「到介面再返回地表」的額外時間。
第三部分：計算步驟與公式
步驟 1：由直達波斜率求 $V_1$
於直達波線段上取兩點 $(x_1,t_1),(x_2,t_2)$： $$\text{slope}_D=\frac{t_2-t_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{V_1}\quad\Rightarrow\quad V_1=\frac{1}{\text{slope}_D}.$$
步驟 2：由折射波斜率求 $V_2$
於折射波線段上取兩點： $$\text{slope}_R=\frac{t_2-t_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{V_2}\quad\Rightarrow\quad V_2=\frac{1}{\text{slope}_R}.$$
步驟 3：交越距離法（Crossover-Distance）求 $h_1$
幾何關係與臨界角： $$\sin i_c=\frac{V_1}{V_2},\qquad \cos i_c=\sqrt{1-(V_1/V_2)^2}.$$ 交越條件 $t_D(X_c)=t_R(X_c)$ 推得 $$X_c=\frac{T_i}{\frac{1}{V_1}-\frac{1}{V_2}}=\frac{2h_1 V_2\cos i_c}{V_2-V_1}.$$ 因而 $$\boxed{\,h_1=\frac{X_c\,(V_2-V_1)}{2V_2\cos i_c}\,}.$$
步驟 4：截距時間法（Intercept-Time）求 $h_1$
折射波截距為 $$\boxed{\,T_i=\frac{2h_1\cos i_c}{V_1}\,}.$$ 消去 $\cos i_c$ 可得顯式厚度式： $$\boxed{\,h_1=\frac{T_i\,V_1\,V_2}{2\sqrt{V_2^2-V_1^2}}\,}.$$
- $\sin i_c=V_1/V_2,\ \ \cos i_c=\sqrt{1-(V_1/V_2)^2}$
- 直達波：$t=x/V_1$（斜率 $1/V_1$）
- 折射波：$t=T_i+x/V_2$（斜率 $1/V_2$）
- 交越距離：$X_c=\dfrac{T_i}{1/V_1-1/V_2}$
- $h_1=\dfrac{X_c(V_2-V_1)}{2V_2\cos i_c}=\dfrac{T_i V_1 V_2}{2\sqrt{V_2^2-V_1^2}}$
第四部分：完整計算範例（含假資料）
真值（用來檢核）
- $V_1=600\ \mathrm{m/s}$、$V_2=1800\ \mathrm{m/s}$、$h_1=10\ \mathrm{m}$
- $i_c=\sin^{-1}(600/1800)\approx 19.47^\circ,\ \ \cos i_c\approx 0.9428$
- $T_i=\dfrac{2h_1\cos i_c}{V_1}\approx 0.03143\ \mathrm{s}$
- $X_c=\dfrac{T_i}{1/600-1/1800}\approx 28.28\ \mathrm{m}$
觀測（Offset–Travel Time）
| x (m) | 直達波 $t_D$ (s) | 折射波 $t_R$ (s) | 首波相 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.0000 | 0.0310 | D |
| 10 | 0.0167 | 0.0360 | D |
| 20 | 0.0333 | 0.0410 | D |
| 30 | 0.0500 | 0.0460 | R（≈交越） |
| 40 | 0.0667 | 0.0510 | R |
| 60 | 0.1000 | 0.0610 | R |
| 80 | 0.1333 | 0.0710 | R |
| 100 | 0.1667 | 0.0810 | R |
| 120 | 0.2000 | 0.0910 | R |
讀線：前段（$x\lesssim 20$ m）擬合直達波，斜率 $\approx 1/600$；後段（$x\gtrsim 60$ m）擬合折射波，斜率 $\approx 1/1800$，截距 $T_i\approx 0.031$ s。
從圖上求參數
- 速度：$V_1=1/\text{slope}_D \approx 600$ m/s，$V_2=1/\text{slope}_R \approx 1800$ m/s。
- 交越距離：$X_c\approx 28$ m。
- 截距時間：$T_i\approx 0.031$ s。
估算 $h_1$ 並交叉驗證
- 交越距離法： $$ h_1=\frac{X_c\,(V_2-V_1)}{2V_2\cos i_c} \approx \frac{28.28\,(1800-600)}{2\times 1800\times 0.9428}\approx 10.0\ \text{m}. $$
- 截距時間法： $$ h_1=\frac{T_i\,V_1\,V_2}{2\sqrt{V_2^2-V_1^2}} \approx \frac{0.03143\times 600\times 1800}{2\sqrt{1800^2-600^2}}\approx 10.0\ \text{m}. $$
第五部分：實際生活與工程應用（案例方向）
A. 工程地質：道路、橋梁、風機基座等工程需掌握土覆厚度與基岩深度。折射震測可快速圈定基岩起伏與軟弱層，協助決定開挖與地基型式。
B. 水文地質：不飽和帶（較低速度）與飽和帶（較高速度）常具速度對比，沿測線可描繪地下水位面起伏，輔助井位與抽水試驗設計。
C. 環境探勘：配合電阻率等方法，折射震測可辨識覆土/填埋物/宿主層速度差，協助界定掩埋場邊界、覆土完整性與可能沉陷區。
註：實務上建議多方法聯合與地面真值（鑽孔/試坑）比對，以降低非唯一性。
附錄：常見注意事項
- 儀器時間零點/拾取誤差會影響 $T_i$，應統一處理。
- 請在明顯線性段擬合斜率，避免過近或過遠導致混相。
- 若層面傾斜或多層，需改用延遲時間法、Plus–Minus 或多層反演。
- 速度對比不明顯（$V_2\approx V_1$）時，臨界折射波不易出現或判讀困難。
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