Travel Time Tomography 原理說明

二維走時層析成像 (Travel Time Tomography)
4x3 網格計算範例

這是一個具體的 4x3 網格範例，旨在詳細說明走時層析成像的完整計算流程。我們將從一個假設的「真實」地下模型出發，計算出理論的走時數據，然後展示如何建立反演問題的數學模型。

第 1 步：定義「真實」的地下速度模型

在現實中，此模型是未知的。在此範例中，我們預先設定一個真實模型，以便計算出「觀測」走時。我們的最終目標就是透過這些走時數據，反推回這個初始模型。每個格子大小為 1km x 1km。

真實速度 (v_j) 分佈 (km/s)

v1: 4.0

v2: 4.0

v3: 4.0

v4: 4.0

v5: 4.0

v6: 2.0

v7: 4.0

v8: 4.0

v9: 4.0

v10: 4.0

v11: 5.0

v12: 4.0

對應的真實慢度 (s_j = 1/v_j) 分佈 (s/km)

s1: 0.250

s2: 0.250

s3: 0.250

s4: 0.250

s5: 0.250

s6: 0.500

s7: 0.250

s8: 0.250

s9: 0.250

s10: 0.250

s11: 0.200

s12: 0.250

第 2 步：定義射線路徑並計算「觀測」走時

假設我們有三條來自不同地震事件的射線，被不同測站記錄下來。

射線路徑示意圖

      R2    R3

      v     v

   +--S3---+-----+-----+-----+

   |  \ 1  |  2  |  3  |  4  |

   +-----\-+--|--+-----+-----+

S1->|  5  | \6 /|  7  |  8  | -> R1

   +-----+--|-\-+-----+-----+

   |  9  | 10|/ 11 | 12  |

   +-----+---S2--+-----+

        

• 射線 1 (水平)：穿過格子 v5, v6, v7, v8。每個格子內路徑長度為 1 km。
  走時 T₁ = (1/4.0) + (1/2.0) + (1/4.0) + (1/4.0) = 1.25 秒
• 射線 2 (垂直)：穿過格子 v10, v6, v2。每個格子內路徑長度為 1 km。
  走時 T₂ = (1/4.0) + (1/2.0) + (1/4.0) = 1.00 秒
• 射線 3 (對角)：穿過格子 v1, v6, v11。每個格子內路徑長度為 √2 ≈ 1.414 km。
  走時 T₃ = √2 × (1/4.0 + 1/2.0 + 1/5.0) = 1.414 × 0.95 = 1.343 秒

由此，我們得到了觀測數據向量 d：

d = [ T₁, T₂, T₃ ]^T = [ 1.25, 1.00, 1.343 ]^T

第 3 步：建立 G 矩陣與線性方程組

現在，我們假裝不知道真實的速度模型，僅利用觀測到的走時和射線路徑，來建立求解未知慢度 s 的方程組 d = Gm。

根據公式 T_i = ∑ l_ij ⋅ s_j，我們得到：

T₁ = 1⋅s₅ + 1⋅s₆ + 1⋅s₇ + 1⋅s₈ = 1.25
T₂ = 1⋅s₂ + 1⋅s₆ + 1⋅s₁₀ = 1.00
T₃ = √2⋅s₁ + √2⋅s₆ + √2⋅s₁₁ = 1.343

將其寫成矩陣形式 d = Gm 如下：

[

1.25

1.00

1.343

]

=

[

0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0
√2	0	0	0	0	√2	0	0	0	0	√2	0

]

[

s1

s2

...

s12

]

第 4 步：求解問題與解釋

我們現在面臨一個核心問題：我們有 12 個未知數 (s₁ 到 s₁₂)，但只有 3 個方程式。這在數學上稱為 欠定問題 (Underdetermined Problem)，它有無窮多組可能的解。

現實中的解決方案

• 更多的數據: 在實際研究中，我們會使用成千上萬條射線，使得方程式的數量遠大於未知數的數量，形成一個 超定問題 (Overdetermined Problem)。
• 使用反演算法: 對於超定問題，通常使用最小平方法 (Least Squares) 來找到一個最佳解，這個解能讓模型計算出的走時與觀測走時的誤差最小。

結果品質分析

• 高解析度區域: 像格子 s6，由於被多條、來自不同方向的射線穿過，其速度值會被良好地約束，解出的結果將非常接近真實值。
• 低解析度區域: 像格子 s3, s4, s9, s12 等，沒有任何射線穿過。我們完全沒有關於它們的資訊，因此其解出的速度值是不可靠的。

最終，當電腦程式解出所有12個慢度值後，我們將其轉換回速度 (v = 1/s)，並用顏色繪製成圖，就完成了地下的速度結構成像。